Recientemente mandé una tarea de clase a mis alumnos de 3º de Primaria, en la que debían grabar un vídeo y subirlo. Es la primera vez que lo hacen, así que alguno se han aclarado haciéndolo pero otros me lo han enviado por correo electrónico. ¿Puedo subir yo sus vídeos y que conste como que han hecho la tarea? ¿O solamente lo pueden hacer ellos?

Solamente ellos pueden adjuntar archivos a su tarea.
Puedes indicarles de nuevo cómo hacerlo (al fin y al cabo es un proceso similar a adjuntar el archivo o el enlace en el correo). Así aprenden y la próxima vez no estarás en la misma situación.

Si no lo consigues (o no lo consiguen ellos) lo que puedes hacer es poner un comentario en su tarea donde agregues el enlace al video que te han enviado (si te lo has guardado en Drive), pero es un último recurso, así desaprovechas el potencial que tiene Classroom gestionando la recogida de tareas