Puedes probar esto, ves a la opción de compartir el Site y en la ventana que te salga clica la opción de enlaces y cambia los parámetros para hacer público el Site, de esta manera puedes compartir el link e indexar-lo donde quieras para que lo abra todo el mundo sin problemas.
Si la cuenta propietaria del Site es la misma que está añadiendo la propiedad debería ser automático. Si no es el caso, prueba a crear una propiedad en Google Analytics primero y activa el registro de visitas al Site, eso hará que se utilice ese método de verificación en Google Search Console de manera predeterminada.
Lo acabo de probar con uno de mis Sites y ha sido tal cual.
¿O estás intentando otra cosa y no he entendido nada de nada? 😅